Gegeven drie massa's onder onderlinge zwaartekracht, voorspel de beweging.
Drie niveaus. (1) Algemene gesloten vorm — bewezen onmogelijk (Poincaré 1890; hier werd de chaostheorie geboren). (2) Convergente reeks — Sundman (1912): bestaat, praktisch waardeloos (~108 000 000 termen). (3) Speciale banen + numeriek — per geval. De vraag hier is bescheidener: beschrijft een vorm-raamwerk de structuur, en waar houdt dat op?
Twee testgevallen met bekende grondwaarheid; integrator IAS15 (adaptief, 15e orde), géén softening.
| toets | resultaat | referentie / criterium |
|---|---|---|
| energiebehoud, hele run t=0..100 | max |ΔE/E| = 1,5 × 10−10 | machineprecisie-klasse |
| nauwste passage (zonder softening) | 5,97 × 10−3 | adaptief opgelost |
| figuur-8-periode (velocity-Verlet, |ΔE/E|~10−6) | 6,3260 | 6,32591 — afwijking 0,00% |
| uitstoot Pythagoras-probleem | m=3 hyperbolisch vanaf t ≈ 60,7 | Szebehely & Peters 1967: finale ontmoeting ~60, ontsnapping ~70 |
| tolerantie-robuustheid (ε 10−9 vs 10−11) | zelfde uitkomst: r≈96,5 · Erel≈+2,35 | macro-uitkomst reproduceerbaar |
Drie even zware lichamen op één baan (Moore 1993; Chenciner & Montgomery 2000): exact, stabiel, periodiek — drie lichamen, géén chaos.
Tegenover hem het Pythagorische 3-4-5-probleem (Burrau 1913): drie ongelijke massa's uit rust — chaotisch, eindigend in een binair (m=4, m=5) plus uitstoot van m=3. Samen scheiden ze "aantal lichamen" van "chaos".
Via de variatievergelijkingen (meebewegende verstoring), gebonden fase t < 60.
| maat | ε=10−9 | ε=10−11 | interpretatie |
|---|---|---|---|
| MEGNO ⟨Y⟩ | 5,8 | 7,3 | ≫ 2 ⇒ formeel chaotisch |
| λmax (eindige tijd) | 0,073 | 0,097 | orde-consistent; chaos varieert per venster |
| tlyap = 1/λ | 13,8 | 10,3 | één e-macht foutgroei per ~10–14 tijdseenheden |
Gemeten divergentie van een 10−9-verstoring (beide banen gevalideerd): ×2,7 bij t=10 · ×8,1 bij t=20 · ×850 bij t=40. Met λ≈0,08 kost één decimaal cijfer voorspelbaarheid ~29 tijdseenheden. En: de chaos is transiënt — na de uitstoot (t≈61) is het systeem regulier (binair + vrije ontsnapper). Dat verklaart wáárom de macro-uitkomst reproduceerbaar is: λ·teject ≈ 5 e-machten laat een 10−9-fout slechts tot ~10−7 groeien.
Anker een 0.0 (barycentrum — het altijd noodzakelijke "vierde"). Drie discrete metingen; het tweede verschil geeft de versnelling = de netto-invloed:
| t | gemeten a (3 punten) | exact a (Newton) | rel. fout |
|---|---|---|---|
| 1,00 | (−0,173, −0,227) | (−0,175, −0,225) | 1,0 % |
| 2,00 | (−1,372, +0,600) | (−1,376, +0,593) | 0,5 % |
| 3,00 | (−0,964, −0,085) | (−0,962, −0,082) | 0,3 % |
Dezelfde τ-extractie die op speculatiecycli (τ=0,74±0,07, N=10) en RRab-sterren (τ=0,24, N=97) bond — nu op gevalideerde banen.
| baan / signaal | τ_piek | n | karakter |
|---|---|---|---|
| figuur-8, paar-afstanden + Kuramoto-R | 0,500 ± 0,001 | 32 | exact symmetrisch |
| Pythagoras, gebonden fase (IAS15) | 0,504 ± 0,245 | 65 | breed verstrooid — bindt nérgens |
| alles samen | 0,503 ± 0,200 | 97 | binnen 0,50: 57% · 0,74: 5% · 0,24: 3% |
De drie paar-afstanden als continue ritmes (microtonaliteit · gamelan/kolotomiek · polyritmiek) — nu op de gevalideerde banen.
Polyritmiek is hier letterlijk: drie omloopfrequenties tegen elkaar, en de chaos ontstaat uit resonantie-overlap (Chirikov). De continue lezing is verwant aan Laskars frequentie-analyse, waarmee de stabiliteit van het zonnestelsel echt wordt onderzocht. Rijker heden — geen stap voorbij de λ-horizon.
Mariens oscillator Ẋ+2γẋ+ω²x=F(t) (Lorentz-piek, breedte γ/π) en de Seabird-engine, als onafhankelijke instrumenten op dezelfde vraag: is er een coherente mode?
| object | maat | waarde | coherente mode? |
|---|---|---|---|
| figuur-8 (geordend) | Lorentz-fit | Q ≈ 10 · r² = 0,50 | ja — smalle lijn op een kam |
| Pythagoras, gebonden fase (IAS15-gevalideerd) | Lorentz-fit | r² = 0,688 | zwakker dan gedacht — zíe correctie |
| Seabird: studio_a → cathedral | RT60 / Q@1kHz | 0,41–3,72 s / 87–1320 | ja — hoog-Q modes |
Het drie-lichamen-probleem is niet opgelost — Poincaré staat. Wat gemeten is: het is geen kennisprobleem van het heden (de invloed per moment is exact af te lezen, §3), maar een voorspelbaarheidsprobleem van de toekomst, deterministisch en zonder ruis-term. De grens is nu gemeten in plaats van beweerd: MEGNO ≈ 6–7, λ ≈ 0,07–0,10, tlyap ≈ 10–14 — precisie koopt in chaos logaritmisch toekomst, in orde algebraïsch (§2). De chaos is hier bovendien transiënt en de macro-uitkomst (uitstoot m=3, t≈61–70) reproduceerbaar en conform Szebehely & Peters 1967. De vorm-invariantie van Curve Firmus bindt niet (§4): geordend exact symmetrisch, chaotisch nergens — een gefalsifieerde hypothese op gevalideerde grond. De mode-analogie (§6) blijkt op gevalideerde grond gradueel, niet binair — een illustratie, geen extra bewijs. Eén ding is in v2 ook gecorrigeerd: de v1-divergentiecijfers waren integratorfout, geen natuur — de eerlijkheid daarover is onderdeel van het resultaat.
numeriek: REBOUND 5.0 / IAS15 (Rein & Liu 2012; Rein & Spiegel 2015), energiebehoud ≤1,5×10−10, geen softening; figuur-8 velocity-Verlet |ΔE/E|≤10−6, periode geijkt op 0,00% · chaos-diagnose via MEGNO/variatievergelijkingen · τ-extractie identiek aan de scharnier-toets · herhaalbare scripts: drie_lichamen_rebound.py · drie_lichamen_validatie.py · drie_lichamen_v2_dump.py · drie_lichamen_dossier_v2.py (+ v1-scripts bewaard)
Marinus Jacobus Hogerheijde · CC BY 4.0 · 2026-07-06 · dossier v2 (v1 bewaard, correctie gedocumenteerd)